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正定县，河北省石家庄市辖县，位于太行山东麓的山前倾斜平原、山前冲积扇的中上部，因“真正安定”之意得名 [1-2]  ；正定县位于东经114°23′~114°43′，北纬38°6′~38°22′，总面积486平方千米，气候型为温带季风气候，四季分明，多年平均气温13.1℃，多年平均降水量550毫米 [3]  ；截至2020年10月，正定县下辖2个街道、3个镇和5个乡，境内设有中国（河北）自由贸易试验区正定片区和正定新区；截至2019年末，正定县常住人口为51.7万人 [1]  。

正定县前身为真定县，有1600多年的建城史，最初为鲜虞国都城，后为中山国都城，建县始于秦始皇统一中国后设立的东垣县，“真定”一名始于汉高祖十一年（前196年）改东垣县为真定县，最终于清雍正元年（1723年）改为现名 [2]  。正定县是京津冀城市群、石家庄都市圈的重要城镇，境内建有石家庄正定国际机场，有京广高速铁路过境 [4]  。正定县有“九楼四塔八大寺，二十四座金牌坊”，有“古建艺术宝库”美称 [1]  。

2020年上半年，正定县财政收入为35.7亿元，同比增长5.8%；一般公共预算收入为26.9亿元，同比增长10.1%；固定资产投资为116.2亿元，同比增长11%；服务业增加值为100.3亿元，同比增长11%；规模以上高新技术产业增加值达5.9亿元，同比增长18%；社会消费品零售总额达40.8亿元，同比增长10%；外贸进出口总额达91亿元，同比增长366%；城乡居民人均可支配收入分别为18146元和10260元，同比增长8.2%和8.7% [5]  。

(a) 物种及其缩写

(b) 物种1先于物种2的时间

图 9-48　灵长类物种之间的关系

5. ** 如果某些弧的标号为负值，迪杰斯特拉算法就不是永远都能奏效了。给出一幅能让迪杰斯特拉算法给出错误最小距离的带负值标号的图。

6. ** 设G 是我们已经为其运行过迪杰斯特拉算法并以某种次序解决了其中节点的图。假设要为G 添加一条权为0的弧u→v，以形成新图G' 。在什么情况下迪杰斯特拉算法为G' 解决节点的次序与为G 解决节点的次序相同？

7. ** 在本节中我们采用的方法是把表示图G 的数组与存储整数（作为指向其他数组索引）的偏序树关联起来。另一种方式是使用指向数组元素的指针。使用指针替代整数索引，重新实现迪杰斯特拉算法。

9.9　最短路径的弗洛伊德算法

如果想知道含n 个节点的非负标号图中所有节点对之间的最小距离，可以把每个节点n 作为源节点来运行迪杰斯特拉算法。因为运行一次迪杰斯特拉算法所需的时间为O(m logn)，其中m 是节点数和弧数的较大者，那么用这种方式找出所有节点对之间的最小距离就要花掉O(mn logn)的时间。此外，如果m 接近其最大值n2，就可以使用9.8节的习题(4)中讨论过的迪杰斯特拉算法O(n2)时间的实现，这样要为每个节点对都找到最小距离，就需要运行n 次成为O(n3)时间的算法。

还有一种找出所有节点对之间最小距离的算法——弗洛伊德算法。这种算法要花O(n3)的时间，因此从本质上讲不比迪杰斯特拉算法更好，而且当弧的数量远小于n2时要比前者更糟。不过，弗洛伊德算法是基于邻接矩阵，而不是基于邻接表的，它从概念上讲要比迪杰斯特拉算法简单得多。

弗洛伊德算法的本质是，依次将图的每个节点u 作为枢纽。当u 是枢纽时，我们会试着利用u 作为所有节点对之间的中间节点，如图9-49所示。对每个节点对（比方说是v 和w）而言，如果弧v→u 和u→w 的标号的和，即图9-49中的d+e，要小于当前从v 到w 的弧的标号f，那么就将f 替换为d+e。

图 9-49　使用节点u 作为枢纽，以改善某些节点对之间的距离

实现弗洛伊德算法的代码片段如图9-50所示。和之前一样，假设节点使用从0开始的整数命名，并且还是使用NODE作为节点的类型，不过这里要假设该类型为整数或等价的枚举类型。我们还要假设有n×n 的数组arc，满足arc[v][w]是给定图中弧v→w 的标号。不过，对其对角线上所有的节点v 来说，即便存在弧v→v，也有arc[v][v]=0。原因在于，从一个节点到其自身的最短距离总是0，而且我们根本不希望沿着这些弧行进。如果没有从v 到w 的弧，我们就让arc[v][w]为INFTY，就是要比其他任意标号都大很多的一个特殊值。还有一个相似的数组dist，在其末端存放着最小距离，dist[v][w]将成为从节点v 到节点w 的最小距离。

           NODE u, v, w;(1)        for (v = 0; v < MAX; v++)(2)            for (w = 0; w < MAX; w++)(3)                dist[v][w] = arc[v][w];(4)        for (u = 0; u < MAX; u++)(5)            for (v = 0; v < MAX; v++)(6)                for (w = 0; w < MAX; w++)(7)                    if (dist[v][u] + dist[u][w] < dist[v][w])(8)                        dist[v][w] = dist[v][u] + dist[u][w];复制代码

图 9-50　弗洛伊德算法

第(1)行到第(3)行会将dist初始化为arc。第(4)行到第(8)行构成了一个循环，其中每个节点u 会依次被取作枢纽。对各枢纽u，在v 和w 上的双重循环中，我们考虑了每个节点对。第(7)行会测试从v 经过u 到达w 是否比从v 直接到w 更近，如果是这样，那么第(8)行就会将dist[v][w]降低为从v 到u 的距离及从u 到w 的距离之和。

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