邯郸小程序制作【邯郸企业邮箱】邯郸网站外包、邯郸微信商城开发、邯郸网店美工、邯郸淘宝设计

发表日期： 2021-04-10 15:29:17 浏览次数：122

邯郸，是河北省地级市，国务院批复确定的中国河北省南部地区中心城市 [1] 。截至2019年，全市下辖6个区、11个县、代管1个县级市，总面积12073.8平方千米，常住人口954.97万人，其中城镇人口555.36万人，城镇化率58.15%。 [2]

邯郸位于河北省南端、太行山东麓，西依太行山脉，东接华北平原，与晋、鲁、豫三省接壤，是晋冀鲁豫四省要冲和中原经济区腹心、华北地区重要的交通枢纽，京广铁路、京广高铁纵贯南北，邯长铁路、邯济铁路横跨东西，邯黄铁路直通黄骅港口 [111] ，京深高速公路、大广高速公路、太行山高速公路贯穿南北，青兰高速公路、邯大高速公路横跨东西，107国道、106国道、309国道、230国道（原定魏公路） [3] 及234国道、514国道 [4] （原邯临公路）、515国道（原沙曹公路） [112] 形成国省干线公路网，邯郸机场是国家重点发展的支线机场。 [5]

邯郸是国家历史文化名城，有3100年的建城史，8000年前孕育了新石器早期的磁山文化；战国邯郸为赵国都城，魏县为魏国都城；汉代与洛阳、临淄、南阳、成都共享“五大都会”盛名；邯郸临漳县先后为曹魏、冉魏、前燕、东魏、北齐都城；北宋，大名府成为北宋陪都；清代，大名府为直隶省第一省会。 [6-9]

邯郸是国家园林城市、中国优秀旅游城市、全国绿化模范城市、全国双拥模范城市、全国社会治安综合治理优秀城市和中国成语典故之都，拥有涉县娲皇宫、广府古城2处5A级景区。

2.3　归纳证明

数学归纳法是种实用的技巧，可用来证明命题S(n)对所有非负整数n都为真，或者更一般地说，对所有不小于某个下限的整数都成立。例如，在本章开头，我们提到过可以通过对n的归纳，证明对于所有的n≥1，命题 $\sum^{n}_{i=1}i=n(n+1)/2$ 都为真。

现在，假设S(n)是有关整数n的任意命题。在对命题S(n)最简单的归纳证明形式中，要证明以下两个事实。

1. 依据情况。多为S(0)，不过，依据可以是对应任意整数k的S(k)，这样就是证明只有在n≥k 时命题S(n)成立。

2. 归纳步骤。我们要证明对所有的n≥0（或者如果依据为S(k)，则是对所有的n≥k），都可由S(n)推出S(n+1)。在证明过程中的这个部分，我们假设命题S(n)为真。S(n)称为归纳假设，而且要假设它为真，接着我们必须证明S(n+1)为真。

命名归纳参数
我们可以通过为要证明的命题S(n)中的变量n 指定直观含义，对归纳作出解释，这种做法通常很有用。如果n 如示例2-4中那样没有特殊含义，就可以说“对n 进行归纳证明”。在其他例子中，n 可能具有实际意义，比如示例2.6中，n 表示码字中的比特数，于是就可以说，“对码字中的比特数进行归纳证明”。

图2-4展示了从0开始的归纳。对每个整数n，都有命题S(n)要证明。对S(1)的证明用到了S(0)，对S(2)的证明用到了S(1)，以此类推，就如图中箭头所表示的。每个命题依赖前一个命题的方式是统一的。也就是说，通过对归纳步骤的一次证明，我们可以证明图2-4中箭头表示的每个步骤。

{%}

图 2-4　在归纳证明中，命题S(n)的每个实例都是用比n 的值小1的命题实例证明的

示例 2.4

作为数学归纳法的示例，我们来证明如下命题S(n)

命题。对任意的n≥0，都有S(n)： $\sum^{n}_{i=0}2^i=2^{n+1}-1$

这就是说，从2的0次幂到2的n次幂，2的整数指数幂之和要比2的n-1次幂小13。例如，1+2+4+8＝16-1，证明过程如下。

3证明S(n)也可以不使用归纳法，只需要利用几何级数的求和公式即可。不过，该示例可以作为介绍数学归纳法的简单例子。此外，利用我们在高中可能见过的几何级数或算术级数求和公式来证明该命题是相当不严谨的，而且严格地讲，证明这些求和公式也要用到数学归纳法。

依据。要证明该依据，我们将等式S(n)中的n 替换为0，这样S(n)就成了

$\sum^{n}_{i=0}2^i=2^1-1$ 　　　　　　(2.2)

对i=0，等式(2.2)左边的和式中只有一项，这样(2.2)左边的和为20，也就是1。而等式(2.2)右边是21-1，也就是2-1，其值同样是1。因此我们证明了S(n)的依据，也就是说，我们证明了对于n=0，该等式成立。

归纳。现在必须要证明归纳步骤。我们假设S(n)为真，并证明将该等式中的n 替换为n+1后等式也成立。要证明的等式S(n+1)如下

$\sum^{n+1}_{i=0}2^i=2^{n+2}-1$ 　　　　　　(2.3)

要证明等式(2.3)成立，我们先要考虑等式左侧的和

$\sum^{n+1}_{i=0}2^i$

这个和几乎与S(n)左侧的和一模一样，S(n)左侧的和为

$\sum^{n}_{i=0}2^i$

只不过等式(2.3)左侧多了i=n+1时的项，也就是2n+1这一项。

因为可以假定归纳假设S(n)在等式(2.3)的证明过程中为真，所以应该将S(n)利用起来。可以将等式(2.3)中的和分为两个部分，其中之一是S(n)中的和。也就是说，要将i=n+1时的最后一项分离出来，将其写为

$\sum^{n+1}_{i=0}2^i=\sum^{n}_{i=0}2^i+2^{n+1}$ 　　　　　　(2.4)

现在可以利用S(n)了，可以用S(n)的右边2n+1-1来替换等式(2.4)中的 $\sum^n_{i=0}2^i$ ，于是有

$\sum^{n+1}_{i=0}2^i=2^{n+1}-1+2^{n+1}$ 　　　　　　(2.5)

将等式(2.5)的右边简化后，它就成了2×2n+1-1，也就是2n+2-1。现在可以看到，等式(2.5)左侧的和值，与等式(2.3)的左边相同，而等式(2.5)的右边也与等式(2.3)的右边相同。因此，就利用等式S(n)证明了等式(2.3)的正确性，这段证明过程就是归纳步骤。由此得出的结论是，S(n)对每个非负整数n都成立。

2.3.1　归纳证明为何有效

变量的替换
在需要替换变量，比如涉及同一变量的表达式，如S(n)中的n 时，常会产生混淆。例如，我们要用n+1替换S(n)中的n，以得出等式(2.3)。要进行这种替换，必须先标记出S 中每个出现n的地方。有个很实用的办法，就是先用某个未在S 中出现过的新变量（比如m）来代替n。例如，S(n)就成了
$\sum^{m}_{i=0}2^i=2^{m+1}-1$
接着在每个出现m 的地方将其替换成所需的表达式，即本例中的n+1，就得到
$\sum^{n+1}_{i=0}2^i=2^{(n+1)+1}-1$
若将(n+1)+1简化为n+2，就得到了等式(2.3)。
请注意，我们应该给用来替换的表达式加上括号，以避免意外改变运算顺序。例如，假设用n+1替换表达式2×m 中的m，但没有给n+1加上括号，那么就会得到2×n+1，而不是正确的表达式2×(n+1)（也就是2×n+2）。

在归纳证明中，我们先证明了S(0)为真。接下来要证明，如果S(n)为真，那么S(n+1)是成立的。不过为什么接着能得出S(n)对所有n≥0都为真呢？我们会提供两个“证据”。某位数学家曾指出，我们证实归纳法有效的每个“证据”，都需要归纳证据本身，因此就根本没有证据。从技术上讲，归纳肯定能作为公理，然而很多人会发现以下直觉认识也是有用的。

邯郸小程序制作【邯郸企业邮箱】邯郸网站外包、邯郸微信商城开发、邯郸网店美工、邯郸淘宝设计

邯郸小程序制作【邯郸企业邮箱】邯郸网站外包、邯郸微信商城开发、邯郸网店美工、邯郸淘宝设计

2.3 归纳证明

示例 2.4

2.3.1 归纳证明为何有效

2.3　归纳证明

2.3.1　归纳证明为何有效