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发表日期： 2021-04-10 15:35:26 浏览次数：116

邯郸，是河北省地级市，国务院批复确定的中国河北省南部地区中心城市 [1] 。截至2019年，全市下辖6个区、11个县、代管1个县级市，总面积12073.8平方千米，常住人口954.97万人，其中城镇人口555.36万人，城镇化率58.15%。 [2]

邯郸位于河北省南端、太行山东麓，西依太行山脉，东接华北平原，与晋、鲁、豫三省接壤，是晋冀鲁豫四省要冲和中原经济区腹心、华北地区重要的交通枢纽，京广铁路、京广高铁纵贯南北，邯长铁路、邯济铁路横跨东西，邯黄铁路直通黄骅港口 [111] ，京深高速公路、大广高速公路、太行山高速公路贯穿南北，青兰高速公路、邯大高速公路横跨东西，107国道、106国道、309国道、230国道（原定魏公路） [3] 及234国道、514国道 [4] （原邯临公路）、515国道（原沙曹公路） [112] 形成国省干线公路网，邯郸机场是国家重点发展的支线机场。 [5]

邯郸是国家历史文化名城，有3100年的建城史，8000年前孕育了新石器早期的磁山文化；战国邯郸为赵国都城，魏县为魏国都城；汉代与洛阳、临淄、南阳、成都共享“五大都会”盛名；邯郸临漳县先后为曹魏、冉魏、前燕、东魏、北齐都城；北宋，大名府成为北宋陪都；清代，大名府为直隶省第一省会。 [6-9]

邯郸是国家园林城市、中国优秀旅游城市、全国绿化模范城市、全国双拥模范城市、全国社会治安综合治理优秀城市和中国成语典故之都，拥有涉县娲皇宫、广府古城2处5A级景区。

2.3.3　习题

1. 通过对n从n=1起进行归纳，证明以下公式。

(a) $\sum^{n}_{i=1}i=n(n+1)/2$

(b) $\sum^{n}_{i=1}i^2=n(n+1)(2n+1)/6$

(d) $\sum^{n}_{i=1}1/i(i+1)=n/(n+1)$

2. 形如 tn=n(n+1)/2的数字称为三角形数，因为将弹珠排列成等边三角形，每条边上排n个，那么弹珠的总数就是 $\sum^{n}_{i=1}i$ ，而从我们在习题(1)中证明的结论可知这是tn个弹珠。例如，保龄球瓶排列成每条边上有4个球瓶的等边三角形，共有t4=4×5/2=10个保龄球瓶。用归纳法证明 $\sum^{n}_{i=1}t_j=n(n+1)(n+2)/6$

3. 判断以下位序列的奇偶校验是偶校验还是奇校验。

(a) 01101

(b) 111000111

4. 假设我们用3个数字，比如0、1和2，来为符号编码。由0、1和2组成的位串集合C 中，如果任意两个位串不只有一个位置不同，那么这个集合就是检错的。例如，{00，11，22}就是长度为2的位串的检错集合。证明对任意的n≥1，使用数字0、1和2组成的长度为n 的位串的检错集合最多只有3n-1个位串。

5. * 证明：对任意的n≥1，存在使用0、1和2三个数字组成的长度为n 的位串的检错集合，其中含有3n-1个位串。

6. * 证明：如果使用k 个符号，对任意的k≥2，都有使用k个不同符号作为“数字”并且长度为n 的位串的检错集合，其中具有kn-1个位串，但这样的位串集合肯定不可能含有超过kn-1个位串。

7. * 如果n≥1，则使用0、1和2这三个数字组成的位串中，连续位置完全不具相同数字的位串共有3×2n-1个。例如，长度为3的此类位串共有：010、012、020、021、101、102、120、121、201、202、210和212。通过对位串的长度进行归纳来证明该结论。这个公式对n=0来说是否为真？

8. * 证明：1.3节中讨论过的行波进位加法算法能产生正确的答案。提示：通过对i 的归纳证明，考虑从右端起的i 位，两个加数后i 位的和，其二进制形式为进位位后跟上目前为止所生成的i 位结果。

9. * 含n个项的几何级数a, ar2, ar3,…, arn-1的和公式是

$\sum^{n-1}_{i=0}ar^i=\frac{(ar^n-a)}{(r-1)}$

通过对n 的归纳来证明该公式。请注意，要让公式成立，必须假设r ≠1。在证明过程中会在哪里用到这一假设呢？

10. 第一项为a，公差为b的算术级数a, (a+b), (a+2b), …, (a+(n-1)b)的求和公式为

$\sum^{n-1}_{i=0}a+bi=n(2a+(n-1)b)/2$

(a) 通过对n 的归纳证明该公式。

(b) 证明习题1中的(a)也是该公式的一例。

11. 给出两段非正式的证明，表明虽然命题S(0)为假，但归纳可以从1开始“起效”。

12. 通过对位串长度的归纳证明，由奇校验位串构成的代码也可以检错。

13. ** 如果某种编码中任意两个位串不同的位置不少于3位，那么我们就可以通过找出该编码中与接收到的位串仅有一位不同的唯一位串，纠正单个错误。事实证明，有一种针对7位位串的编码，它可以纠正单个错误并含有16个位串。试着找出这种编码。提示：推理出来可能是最佳方法，不过如果推理失败，可以写程序来搜索这样的编码。

14. * 偶校验码可否检出“双重错误”，也就是两个不同位上的改变？它能否纠正单个错误？

算术和与几何和
高中代数中的两个公式我们会经常用到。它们都有着有趣的归纳证明，也就是我们在习题(9)和习题(10)中让读者证明的。
算术级数（即等差数列）是一列具有以下形式的n个数字。
a, (a+b), (a+2b), …, (a+(n-1)b)
第一项为a，而每一项都要比前一项大b。这n个数字的和，就是第一项和最后一项的平均数的n 倍，也就是
$\sum^{n-1}_{i=0}a+bi=n(2a+(n-1)b)/2$
例如，考虑一下3+5+7+9+11的和。总共有n=5项，第一项为3，最后一项为11。因此，这个和就是5×(3+11)/2=5×7=35。可以把这5个数加起来，来证明这个和是正确的。
几何级数（即等比数列）是一列具有如下形式的n个数字。
a,ar,ar2,ar3,…,arn-1
也就是说，第一项为a，而每一项都是前一项的r倍。n项几何级数的和公式是
$\sum^{n-1}_{i=0}ar^i=\frac{(ar^n-a)}{(r-1)}$
在这里，r可以大于1，也可以小于1。如果r=1的话，以上公式就不可用了，不过所有项都是a，其和也很明显，就是an。
作为几何级数求和的例子，考虑一下1+2+4+8+16。这时n=5，第一项a就是1，而公比r=2，因此这个和就是
(1×25-1)/(2-1)=(32-1)/1=31
再举一个大家可以验证的例子，考虑1+1/2+1/4+1/8+1/16。还是n=5而且a=1，不过r=1/2，这个和就是
$(1\times(\frac{1}{2})^5-1)/(\frac{1}{2}-1)=(-31/32)/(-1/2)=1\frac{15}{16}$

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2.3.3 习题

2.3.3　习题