发表日期： 2021-04-10 15:37:49 浏览次数：338
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邯郸，是河北省地级市，国务院批复确定的中国河北省南部地区中心城市 [1] 。截至2019年，全市下辖6个区、11个县、代管1个县级市，总面积12073.8平方千米，常住人口954.97万人，其中城镇人口555.36万人，城镇化率58.15%。 [2]
邯郸位于河北省南端、太行山东麓，西依太行山脉，东接华北平原，与晋、鲁、豫三省接壤，是晋冀鲁豫四省要冲和中原经济区腹心、华北地区重要的交通枢纽，京广铁路、京广高铁纵贯南北，邯长铁路、邯济铁路横跨东西，邯黄铁路直通黄骅港口 [111] ，京深高速公路、大广高速公路、太行山高速公路贯穿南北，青兰高速公路、邯大高速公路横跨东西，107国道、106国道、309国道、230国道（原定魏公路） [3] 及234国道、514国道 [4] （原邯临公路）、515国道（原沙曹公路） [112] 形成国省干线公路网，邯郸机场是国家重点发展的支线机场。 [5]
邯郸是国家历史文化名城，有3100年的建城史，8000年前孕育了新石器早期的磁山文化；战国邯郸为赵国都城，魏县为魏国都城；汉代与洛阳、临淄、南阳、成都共享“五大都会”盛名；邯郸临漳县先后为曹魏、冉魏、前燕、东魏、北齐都城；北宋，大名府成为北宋陪都；清代，大名府为直隶省第一省会。 [6-9]
邯郸是国家园林城市、中国优秀旅游城市、全国绿化模范城市、全国双拥模范城市、全国社会治安综合治理优秀城市和中国成语典故之都，拥有涉县娲皇宫、广府古城2处5A级景区。
简单归纳的模板
我们对2.3节进行总结，给出适用于该节中归纳证明过程的简单模板。2.4节中将介绍更为通用的模板。
1. 指定待证明的命题S(n)。表明自己要通过对n的归纳，对所有n≥i0，证明S(n)。这里的i 0是作为归纳依据的常数，通常i 0是0或1，不过它也可以是任意整数。直观地解释n 的含义，比如，n 是码字的长度。
2. 陈述依据情况，S(i0)。
3. 证明依据情况，也就是解释S(i0)为何为真。
4. 陈述对某些n≥i0，假设有S(n)，也就是陈述“归纳假设”，建立归纳步骤。用n+1替换命题S(n)中的n来表示S(n+1)。
5. 假定归纳假设S(n)为真，证明S(n+1)。
6. 得出S(n)对所有n≥i0都（但对更小的n不一定）为真结论。
目前为止所看到的例子，在证明S(n+1)为真时，都只用到了S(n)作为归纳假设。不过，由于要对参数从归纳依据开始增加的值证明命题S，我们可以对从归纳依据到n 的所有i 的值使用S(i )，这种形式的归纳叫作完全归纳（有时也称为完美归纳或强归纳）。而2.3节所示的简单归纳形式，也就是只用S(n)来证明S(n+1)，有时被称为弱归纳。
先来考虑一下如何进行从归纳依据n=0开始的完全归纳。要通过以下两个步骤来证明S(n)对所有n≥0为真。
1. 先证明归纳依据，S(0)。
2. 假设S(0),S(1),…,S(n)全为真，作为归纳假设。从这些命题来证明S(n+1)成立。
至于在2.3节中描述的弱归纳，也可以在选择0之外再选择某个值a作为归纳依据，然后证明S(a)归纳依据。而且在归纳步骤中，可以只假定S(a),S(a+1),…S(n)为真。请注意，弱归纳是完全归纳的一个特例，应用弱归纳，我们在之前的命题中只选择S(n)来证明S(n+1)。
图2-7表示了完全归纳的原理。命题S(n)的每个实例在其证明过程中都可以使用下标比其小的任意实例。
图 2-7 完全归纳允许每个实例在其证明过程中使用在它之前的一个、一些或是所有实例
在进行完全归纳时，拥有多个依据情况往往是很实用的。如果希望证明命题S(n)对所有n≥i0都为真，那么不仅可以用i0作为依据情况，而且能用一些大于i0的连续整数（假设是i0,i0+1,i0+2,…,j0 ）作为依据情况。然后我们必须完成以下两步。
1. 证明每个依据情况，即命题S(i0),S(i0+1),…,S(j0)。
2. 假设对于某个n≥j0,S(i0),S(i0+1),…,S(n)全成立，作为归纳假设，并证明S(n+1)为真。
第一个完全归纳的例子是使用多个依据情况的简单例子。正如我们将要看到的，它只是有限程度的“完全”。为了证明S(n+1)，我们没有使用S(n)，而只使用了S(n-1)。在更普遍的完全归纳推理中，我们要使用S(n)、S(n-1)以及命题S的很多其他实例。
下面通过对n 的归纳来对所有的 n ≥ 0 证明以下命题。4
4其实，这个命题对所有的n，不论n是正整数还是负整数，都是成立的，不过n为负整数的情况需要另外进行归纳推理，我们将这个证明过程留给大家作为习题。
命题 S(n)。总是存在整数a和b（正整数、负整数或0），使n=2a+3b。
依据。我们同时采用0和1作为依据情况。
1. 对于n=0，可以选用a=0和b=0。显然0=2×0+3×0。
2. 对于n=1，可以选用a=-1和b=1。然后有1=2×(-1)+3×1。
归纳。现在，可对任意的n≥0，假设S(n)为真，并证明S(n+1)为真。请注意，可假设n至少是从我们已证明的依据（这里n≥1）起的连续值中最大的那个。而命题S(n+1)就是说存在某些整数a 和b，使得n+1=2a+3b。
归纳假设表明S(0),S(1),…,S(n)全部为真。请注意，序列从0开始是因为它是连续依据情况的下限。因为可以假设n≥1，我们知道n-1≥1，因此S(n-1)为真。该命题就是说，存在整数a 和b，使得n+1=2a+3b。
由于命题S(n+1)中需要用到a，因此这里重新声明S(n-1)使用不同名称的整数，比方说存在整数a'和b'，使得
n-1=2a'+3b' (2.6)
如果给(2.6)的两边都加上2，就得到n+1=1(a'+1)+3b'。如果接着令a=a'+1，b=b'，那么就存在整数a 和b，使得命题n+1=2a+3b为真。该命题就是S(n+1)，所以我们已经证明了该归纳推理。请注意，在证明过程中，没有用到S(n)，但用到了S(n-1)。
就像2.3节中讨论的普通归纳（或“弱”归纳）那样，通过“最少反例”论证，完全归纳也可以被直观地证实为一种证明技巧。令依据情况为S(i0)，S(i0+1)，…，S(j0)，并假设已经证明了对任意的n≥j0，S(i0)，S(i0+1)，…，S(n)能一起推出S(n+1)。现在，假设至少存在一个不小于i0的n值使S(n)不成立，并设b是令S(b)为假的最小的不小于i0的整数。那么b就不能是i0和j0之间的整数，否则与归纳依据矛盾。此外，b也不能大于j0。不然，S(i0)，S(i0+1)，…，S(b-1)全为真。而归纳步骤接着就会告诉我们S(b)也为真，这样就产生了矛盾。
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